...
 
Commits (4)
% Series 1 Test Suite
n=101; d=1;
%%
n=11; d=1;
T=FDLaplacianTrue(n-2,d);
A=FDLaplacien(n-2,d);
A=FDLaplacian(n-2,d);
disp(normest(A-T,2));
disp(normest((n-1)^2 * A-T,2));
% x=linspace(0,1,n)'; f=sin(x(2:end-1));
% error=abs(A*f + f);
% disp(norm(error(2:end-1),2))
%%
n=11; d=2;
T=FDLaplacianTrue(n-2,d);
A=FDLaplacien(n-2,d);
A=FDLaplacian(n-2,d);
disp(normest(A-T,2));
disp(normest((n-1)^2 * A - T,2));
% x=linspace(0,1,n);
......@@ -19,8 +23,10 @@ disp(normest((n-1)^2 * A - T,2));
% error=abs(A*f(:) + f(:));
% disp(norm(error(2:end-1),2));
%%
n=7; d=3;
T=FDLaplacianTrue(n-2,d);
A=FDLaplacien(n-2,d);
A=FDLaplacian(n-2,d);
disp(normest(A-T,2));
disp(normest((n-1)^2 * A - T,2));
\ No newline at end of file
function A = FDLaplacian(n,d)
% FDLAPLACIAN compute a finite difference Laplacian
%A = FDLaplacian(n,d) computes a finite difference Laplacian on the
%unit interval/square/cube (d=1,2,3) using n interior points
m=n;
if d==1
A=diag(2*ones(1,m)) + diag(ones(m-1,1),1) + diag(ones(m-1,1),-1) ;
end
if d==2
A=diag(4*ones(1,m^2)) + diag(ones(m^2-1,1),1) + diag(ones(m^2-1,1),-1) + diag(ones(m^2-m,1),m)+ diag(ones(m^2-m,1),-m);
end
if d==3
A=diag(6*ones(1,m^3)) + diag(ones(m^3-1,1),1) + diag(ones(m^3-1,1),-1) + diag(ones(m^3-m,1),m)+ diag(ones(m^3-m,1),-m)+diag(ones(m^3-m^2,1),m^2)+ diag(ones(m^3-m^2,1),-m^2);
end
end
A=FDLaplacian(5,1)
A=FDLaplacian(5,2)
A=FDLaplacian(5,3)
\ No newline at end of file
......@@ -50,11 +50,11 @@
\item (4 pts) Consid\'erer le Laplacien discret $A \in \R^{n^2 \times n^2}$ en dimension deux pour le carr\'e unitaire avec $n^2$ points intérieures (alors, $h = \frac{1}{n+1}$).
Soit $u = \sin(\pi x) \sin(\pi y) + 1$.
R\'esoudre le syst\`eme $Au = f$ avec la fonction \texttt{Heat2D} de la s\'erie pr\'ec\'edent, en utilisant les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel.
Utiliser les erreurs \`a estimer $\rho(M^{-1}N)$ comme une fonction de $h$ pour les deux m\'ethodes.
R\'esoudre le syst\`eme $A\vec{u} = \vec{f}$ avec la fonction \texttt{Heat2D} de la s\'erie pr\'ec\'edente, en utilisant les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel.
Utiliser les erreurs pour estimer $\rho(M^{-1}N)$ comme fonction de $h$ pour les deux m\'ethodes.
\textit{Indice:} Modifier \texttt{Heat2D} telle qu'elle compute l'erreur et le taux de convergence asymptotique.
Pour le dernier, c'est le plus facile \`a computer la pente d'une ligne.
\textit{Indice:} Modifier \texttt{Heat2D} telle qu'elle calcule l'erreur et le taux de convergence asymptotique.
Pour le dernier, le plus facile est de calculer la pente d'une ligne.
Les $\rho(M^{-1}N)$ ont la forme $1 - \alpha h^2 + \mathcal{O}(h^4)$; $\alpha=?$
% \item (4 pts) Considérer le Laplacien discret $A\in \R^{n^2\times n^2}$ de $-\Delta$ en dimension 2
......@@ -73,36 +73,36 @@
\begin{enumerate}
\item (2 pts) Consid\'erer la fonction $F: \R^n \rightarrow \R$ d\'efinit par $F(u) = \frac{1}{2} u^\top A u - u^\top f$ pour une $A \in \R^{n \times n}$ sym\'etrique et $f \in \R^n$.
D\'emontrer que $\nabla F(u) = Au - f$.
\item (2 pts) Consid\'erer la fonction $F: \R^n \rightarrow \R$ d\'efinit par $F(\vec{u}) = \frac{1}{2} \vec{u}^\top A \vec{u} - \vec{u}^\top \vec{f}$ pour une matrice $A \in \R^{n \times n}$ sym\'etrique et $\vec{f} \in \R^n$.
D\'emontrer que $\nabla F(\vec{u}) = A\vec{u} - \vec{f}$.
\item (4 pts) Considérer une fonction $f : \R^n \rightarrow \R$ et on dénote avec $\nabla f(\vec{v})$ le
gradient de $f$ en $\vec{v} \in \R^n$ obtenu au moyen du produit scalaire habituel pour $\R^n$.
gradient de $f$ en $\vec{v} \in \R^n$.
Démontrer que $\nabla f(\vec{v})$ est orthogonal à la ligne de niveau de $f$ en $\vec{v}$ et que
$-\nabla f(\vec{v})$ est la direction de descente maximale de $f$ en $\vec{v}$.
\item (4 pts) Implémenter une fonction Matlab qui résout un système linéaire $A \vec{u} = \vec{f}$ à l'aide de la méthode
du gradient.
(On peut utiliser le code \texttt{SteepestDescent} dans le polycopi\'e.)
R\'esoudre un syst\`eme $A \vec{u} = \vec{f}$ o\`u $A$ est le Laplacien en dimension deux et utiliser les r\'esultats \`a estimer le valeur de $\frac{\kappa(A) - 1}{\kappa(A) + 1}$.
R\'esoudre un syst\`eme $A \vec{u} = \vec{f}$ o\`u $A$ est le Laplacien en dimension deux et utiliser les r\'esultats pour estimer la valeur de $\frac{\kappa(A) - 1}{\kappa(A) + 1}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
$\;$\\
\\
{\bf \'Evaluation:}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Les exercices
\item[$\bullet$] Un examen oral durant la session d'examens sur le cours.
\end{itemize}
La note finale est de : $30 \%$ exercices et $70\%$ examen oral.\\
Les exercices sont notés $15\%$ pour la présentation de séries et
$15\%$ pour la présentation au tableau. Il faut passer au tableau au
moins 2 fois dans le semestre.
%$\;$\\
%\\
%
%{\bf \'Evaluation:}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$] Les exercices
%\item[$\bullet$] Un examen oral durant la session d'examens sur le cours.
%\end{itemize}
%La note finale est de : $30 \%$ exercices et $70\%$ examen oral.\\
%Les exercices sont notés $15\%$ pour la présentation de séries et
%$15\%$ pour la présentation au tableau. Il faut passer au tableau au
%moins 2 fois dans le semestre.
\end{document}