\begin{center}{\bf{\Large Travaux Pratiques~-~S\'erie 5}}\end{center}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item La règle du trapèze composée donne des résultats étonnamment bons quand on l'applique aux fonctions périodiques (i.e., $f^{(k)}(a)= f^{(k)}(b)$, pour
$k=0,1,\dots$.), bien meilleures que l'estimation d'erreur vue en cours pour des fonctions générales.
\begin{enumerate}
\item Intégrer la fonction périodique
\[
\mathcal I =\int_0^1\exp\big(x^2(1-x)^2\big) dx
\]
en utilisant la règle du trapèze composée
(avec des n\oe{}uds équidistants $a=x_0 < x_1<\dots<x_n= b$).
Tracer l'erreur d'intégration comme fonction du nombre de n\oe{}uds $n=2:2:52$ (voir Fig.~\ref{fig:period}), où vous pouvez utiliser la fonction de MATLAB \texttt{integral} pour calculer $I$ `exactement'. Comparer les résultats avec les intégrales obtenues par la méthode de Simpson composée.
Répéter l'expérience pour la fonction non périodique $\int_0^1\exp(-x^2) dx$ pour voir la différence.
\item Expliquer (non rigoureusement) pourquoi la règle du trapèze fonctionne aussi bien.
{\bf Indice:}
(1) La règle du trapèze est exacte pour les fonctions trigonométriques $\sin(2k\pi x)$ et $\cos(2k\pi x)$ sur $x\in[0,1]$, pour $k\in\mathbb Z$. Vérifier cela numériquement pour quelques valeurs $k$.
(2) Les fonctions périodiques admettent une extension en séries de Fourier.
\end{enumerate}
\item Le but de cet exercice est d'implémenter un intégrateur \emph{adaptatif}
pour évaluer des intégrales du type
$
\int_a^b f(x)\,dx.
$
Le principe d'un programme adaptatif est de raffiner le découpage de l'intervalle si l'erreur
locale n'est pas suffisamment petite.
\begin{enumerate}
\item\'Ecrire une programme pour calculer les poids et les n\oe uds de la formule de Gauss à $s$~n\oe uds
en diagonalisant une certaine matrice tridiagonale (voir le résultat de l'exercice 2, série 9). Utiliser l'en-tête suivant :
\small
\begin{verbatim}
function [c,b] = GaussCoefficients(s)
% GAUSSCOEFFICIENTS Computations of nodes and weights for s-nodes Gauss' rule
% [c,b] = GaussCoefficients(s) computes the nodes and the weights for
% the s-nodes Gauss' rule in the interval [0,1].
\end{verbatim}
Tester votre programme en cherchant les n\oe uds et les poids pour $s=4$ et $s=5$. \\
